LA MISTERIOSA RECTA REAL

Intervalos encajados

Además de la representación geométrica, que ya hemos visto, de algunos números irracionales podemos representarlos en la recta real mediante intervalos encajados.

Sucesión de intervalos encajados: llamamos así a una sucesión de intervalos en que cada uno está contenido en el anterior y que sus amplitudes son cada vez menores.

Representación por aproximación mediante intervalos encajados: Consiste en ir tomando aproximaciones decimales por exceso y por defecto del número que queremos representar.

Vamos a representar una aproximación de = 3,1415926535898... 

Estamos utilizando una sucesión de intervalos racionales encajados que contienen al número irracional  y así sucesivamenteEste proceso, tomando intervalos suficientemente pequeños, nos permite aproximarnos tanto como queramos al valor de .El proceso nos asegura que todo número real puede ser determinado por una sucesión de intervalos y que le corresponde un punto en la recta real.También se cumple que toda sucesión de intervalos cerrados encajados determina un único número real que pertenece a todos ellos.

¿Cuántos números reales se encuentran entre el 3 y el 7?

	cuatro
	muchos
	Infinitos

Densidad

La densidad en la recta real significa que entre dos números cualesquiera a y b existen otra infinidad de números reales.

Una vez que sabemos representar los números reales en la recta real, nos surge una pregunta ¿a cada punto de la recta le corresponderá un número real? O dicho de otro modo ¿habrá huecos en la recta, es decir, puntos que no se corresponden con algún racional?

Al representar todos los números racionales e irracionales sobre la recta numérica, observamos que no quedan huecos libres entre el número y número, es decir, los números reales llenan por completo la recta real.

La densidad implica que entre dos números cualesquiera a y b existen otra infinidad de números reales. Un punto arbitrario de la recta real puede ser localizado con cualquier grado de precisión utilizando números racionales.